📐 신원동 수학학원 수학의지혜 Day 5
중1 소인수분해 | 공약수와 최대공약수의 성질
🎯 핵심 개념
공약수는 두 수 이상의 공통된 약수를 의미하며, 최대공약수는 이 공약수 중 가장 큰 수를 말합니다. 예를 들어, 12와 18의 공약수는 1, 2, 3, 6이고, 최대공약수는 6입니다. 공약수와 최대공약수는 수의 관계를 이해하고, 수학적 문제를 효율적으로 해결하는 데 중요한 역할을 합니다.
이 개념은 특히 분수의 통분이나 약분, 그리고 여러 수의 배수 관계를 이해하는 데 필수적입니다. 최대공약수를 이용하면 수의 간단한 형태를 유지하면서도 정확한 계산을 할 수 있습니다.
공약수와 최대공약수의 개념은 소인수분해와 밀접하게 관련되어 있습니다. 소인수분해를 통해 각 수의 소인수들을 비교하여 공약수를 쉽게 찾을 수 있습니다.
📐 공식과 성질
기본 공식: 최대공약수(GCD)
최대공약수는 두 수의 공통된 소인수의 곱으로 구할 수 있습니다. 예를 들어, 12와 18의 최대공약수를 찾기 위해 각각의 소인수분해를 하면 12 = 2×2×3, 18 = 2×3×3이 됩니다. 공통된 소인수는 2와 3이므로, 최대공약수는 2×3 = 6입니다.
응용 공식: 유클리드 호제법
유클리드 호제법은 두 수의 최대공약수를 구하는 효율적인 방법입니다. 두 수 a와 b에 대해 a를 b로 나눈 나머지를 r이라 할 때, GCD(a, b) = GCD(b, r)입니다. 이 과정을 반복하여 나머지가 0이 될 때의 b가 최대공약수입니다.
💡 단계별 예시
🟢 기초 단계
예시 1 – 가장 기본
12와 18의 최대공약수를 구하시오.
→ 풀이: 12 = 2×2×3, 18 = 2×3×3, 공통된 소인수는 2와 3이므로 최대공약수는 2×3 = 6입니다.
예시 2 – 기초 응용
24와 36의 최대공약수를 구하시오.
→ 풀이: 24 = 2×2×2×3, 36 = 2×2×3×3, 공통된 소인수는 2×2×3이므로 최대공약수는 12입니다.
🟡 중급 단계
예시 3 – 복합 문제
48과 180의 최대공약수를 유클리드 호제법으로 구하시오.
→ 풀이: 180 ÷ 48 = 3, 나머지 36. 48 ÷ 36 = 1, 나머지 12. 36 ÷ 12 = 3, 나머지 0. 최대공약수는 12입니다.
예시 4 – 응용 유형
72와 120의 최대공약수를 구하시오.
→ 풀이: 72 = 2×2×2×3×3, 120 = 2×2×2×3×5, 공통된 소인수는 2×2×2×3이므로 최대공약수는 24입니다.
🔴 심화 단계
예시 5 – 고난도 문제
210과 462의 최대공약수를 구하시오.
→ 풀이: 210 = 2×3×5×7, 462 = 2×3×7×11, 공통된 소인수는 2×3×7이므로 최대공약수는 42입니다.
🎯 시험 대비 핵심
✅ 반드시 기억할 것
- ✓핵심 포인트 1 – 최대공약수는 공통된 소인수의 곱
- ✓핵심 포인트 2 – 유클리드 호제법 활용
- ✓핵심 포인트 3 – 소인수분해의 중요성
- ✓핵심 포인트 4 – 빠른 계산을 위한 팁
- ✓핵심 포인트 5 – 실수 방지 전략
⚠️실수 주의!
실수 1: 소인수분해 시 빠뜨리는 경우
실수 2: 유클리드 호제법에서 나머지 계산 오류
실수 3: 공약수와 최대공약수 혼동
💭 학습 팁
효과적인 학습 방법으로는 소인수분해를 반복 연습하여 공약수를 빠르게 찾는 연습을 하는 것이 좋습니다.
유클리드 호제법을 사용한 문제 풀이를 통해 계산 속도를 높일 수 있습니다.