📐 신원동 수학학원 수학의지혜 Day 9
중1 소인수분해 | 공배수와 최소공배수의 성질
🎯 핵심 개념
공배수는 두 개 이상의 수에 공통으로 존재하는 배수를 의미합니다. 최소공배수는 이러한 공배수 중 가장 작은 수를 말합니다. 예를 들어, 4와 6의 공배수는 12, 24, 36 등이 있으며, 최소공배수는 12입니다.
공배수와 최소공배수의 개념은 여러 수의 배수를 비교하거나, 문제 해결을 위한 공통된 기준을 찾을 때 유용합니다. 특히, 분수의 덧셈과 뺄셈에서 공통분모를 찾는 과정에서 최소공배수는 필수적입니다.
소인수분해와 밀접한 관련이 있는 개념으로, 소인수분해를 통해 각 수의 소인수를 구하고 이를 이용해 최소공배수를 쉽게 찾을 수 있습니다. 이는 수학적 문제 해결에서 효율성을 높이는 중요한 방법입니다.
📐 공식과 성질
최소공배수(LCM) 공식: 두 수의 곱 ÷ 최대공약수(GCD)
최소공배수를 구하는 공식은 두 수의 곱을 최대공약수로 나누는 것입니다. 이 방법은 두 수의 소인수분해를 통해 최대공약수를 구하고, 이를 이용해 최소공배수를 효율적으로 계산할 수 있게 합니다.
응용 공식: 여러 수의 최소공배수는 각 소인수의 최대 지수의 곱
여러 수의 최소공배수를 구할 때는 각 소인수의 최대 지수를 찾아 곱하는 방법을 사용합니다. 이는 소인수분해를 통해 각 수의 소인수를 나열하고, 공통된 소인수의 최대 지수를 선택하여 곱하는 방식입니다.
💡 단계별 예시
🟢 기초 단계
예시 1 – 가장 기본
12와 18의 최소공배수를 구하세요.
→ 풀이: 12 = 22 × 3, 18 = 2 × 32이므로, 최소공배수는 22 × 32 = 36입니다.
예시 2 – 기초 응용
8, 12, 20의 최소공배수를 구하세요.
→ 풀이: 8 = 23, 12 = 22 × 3, 20 = 22 × 5이므로, 최소공배수는 23 × 3 × 5 = 120입니다.
🟡 중급 단계
예시 3 – 복합 문제
15, 25, 30의 최소공배수를 구하세요.
→ 풀이: 15 = 3 × 5, 25 = 52, 30 = 2 × 3 × 5이므로, 최소공배수는 2 × 3 × 52 = 150입니다.
예시 4 – 응용 유형
6, 9, 15의 최소공배수를 구하세요.
→ 풀이: 6 = 2 × 3, 9 = 32, 15 = 3 × 5이므로, 최소공배수는 2 × 32 × 5 = 90입니다.
🔴 심화 단계
예시 5 – 고난도 문제
14, 21, 35의 최소공배수를 구하세요.
→ 풀이: 14 = 2 × 7, 21 = 3 × 7, 35 = 5 × 7이므로, 최소공배수는 2 × 3 × 5 × 7 = 210입니다.
🎯 시험 대비 핵심
✅ 반드시 기억할 것
- ✓핵심 포인트 1 – 최소공배수는 항상 주어진 수보다 크거나 같습니다.
- ✓핵심 포인트 2 – 소인수분해를 통해 최소공배수를 쉽게 구할 수 있습니다.
- ✓핵심 포인트 3 – 공배수는 무한히 많지만, 최소공배수는 유일합니다.
- ✓핵심 포인트 4 – 분수의 통분에 최소공배수가 활용됩니다.
- ✓핵심 포인트 5 – 최대공약수와 최소공배수의 관계를 이해하세요.
⚠️실수 주의!
실수 1: 소인수분해를 잘못하면 최소공배수를 잘못 계산할 수 있습니다.
실수 2: 공배수와 최소공배수를 혼동하지 않도록 주의하세요.
실수 3: 최대공약수와 최소공배수의 관계를 잘못 이해하면 문제 해결이 어려워질 수 있습니다.
💭 학습 팁
소인수분해를 연습하여 최소공배수를 빠르게 찾는 능력을 키우세요. 다양한 예제를 통해 공배수와 최소공배수의 개념을 확실히 이해하는 것이 중요합니다.
문제를 풀 때는 항상 소인수분해를 먼저 하고, 각 소인수의 최대 지수를 찾아 계산하는 습관을 들이세요.